Dalam dunia probabilitas, sebuah Variabel Acak bukanlah pengganti untuk bilangan tak diketahui seperti dalam aljabar. Alih-alih, pikirkan sebagai penerjemah formal. Ini adalah fungsi bernilai real $X: S \rightarrow \mathbb{R}$ yang memetakan setiap hasil kualitatif dari suatu eksperimen (seperti "mengambil bola putih") menjadi nilai numerik kuantitatif (seperti "-1 dolar").
Logika Pemetaan
Dengan menggunakan variabel acak, kita berhenti membicarakan himpunan hasil abstrak dan mulai membicarakan peristiwa dalam bentuk angka. Sebagai contoh, jika kita melempar koin tiga kali, alih-alih melihat himpunan $\{HHT, HTH, THH\}$, kita mendefinisikan $X$ sebagai "jumlah kepala" dan hanya menganalisis peristiwa $X=2$.
Sebuah variabel acak adalah diskret jika rentangnya hingga atau tak hingga terhitung (seperti bilangan bulat). Ini merupakan perbedaan penting karena memungkinkan kita menggunakan penjumlahan ($∑$) alih-alih integrasi untuk mencari probabilitas total.
Fungsi Massa Probabilitas (PMF)
PMF, dilambangkan $p(a)$, menangkap probabilitas bahwa sebuah variabel acak diskret mengambil nilai tertentu $a$. Ia harus memenuhi dua aksioma yang tidak dapat ditawar:
- $p(x_i) \geq 0$ (Tidak ada probabilitas negatif).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (Total massa probabilitas harus mencakup semua kemungkinan hasil).
Contoh Kerja: Paradoks Kotak
Pertimbangkan sebuah kotak dengan 8 bola putih, 4 bola hitam, dan 2 bola jingga. Kita mengambil satu bola dan mendefinisikan $X$ sebagai keuntungan kita: kita mendapatkan $2 untuk bola hitam, tetapi kehilangan $1 untuk bola putih. PMF mengubah tindakan "mengambil bola" menjadi distribusi keuangan, sehingga memungkinkan kita menghitung kemungkinan bangkrut dibandingkan dengan seimbang.
Jika $p(i) = c\lambda^i/i!$ untuk $i=0, 1, 2, \dots$, kita pertama-tama mencari $c$ dengan memastikan jumlahnya sama dengan 1. Dengan menggunakan deret Taylor untuk $e^\lambda$, kita temukan $c = e^{-\lambda}$. Kemudian, $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ dan $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$.